逆 Grassmannian 的 Littlewood-Richardson 法则及其推广

旗簇的 Chow 环具有由置换索引的 Schubert 闭链 $\sigma_u$ 基。代数组合学的一个主要问题是给出该基结构常数的正组合公式。著名的 Littlewood-Richardson 法则解决了当 $u$ 和 $v$ 为 $p$-Grassmannian 置换时特殊乘积 $\sigma_u \cdot \sigma_v$ 的这一问题。基于 Wyser 的工作,我们引入 backstable clans,在 $u$ 为 $p$-逆 Grassmannian 且 $v$ 为 $q$-逆 Grassmannian 时证明了计算乘积 $\sigma_u \cdot \sigma_v$ 的此类法则。通过建立若干结构常数之间的新线性关系式族,我们进一步推广该结果,得到了当 $u$ 在弱 Bruhat 序下被某个 $p$-逆 Grassmannian 置换覆盖且 $v$ 为 $q$-逆 Grassmannian 置换时 $\sigma_u \cdot \sigma_v$ 的正组合法则。