求解第二类Volterra积分方程的显式数值算法

本文考虑求解方程 \begin{align*} y(t)=f(t)+\int^t_0 g(t-\tau)y(\tau)\,d\tau \end{align*} 的数值算法，其中核为 $g$，输入为 $f$，求解量为 $y$。在某些应用中，核 $g$ 是光滑可积的，但输入 $f$ 可能是广义函数，可能包含Dirac分布。当 $f=\delta$（以0为中心的Dirac分布）时，我们称其基本解为 $E$，并证明 $E=\delta+h$，其中 $h$ 可积且满足 \begin{align*} h(t)=g(t)+\int^t_0 g(t-\tau)h(\tau)\,d\tau \end{align*} 一般情形下的解为 \begin{align*} y(t)=f(t)+(h*f)(t) \end{align*} 其中涉及 $h$ 与 $f$ 的卷积。我们可以用分段常值核以所需精度逼近 $g$，此时解 $h$ 已知显式表达。我们给出了一个具有指定精度的积分方程求解算法。