标量 Volterra 方程的谱理论

本文旨在通过考察五大主要类别，弥合标量线性 Volterra 方程纯研究与应用研究之间的鸿沟：具有完全单调核的积分方程与积微分方程（例如线性粘弹性模型）；具有正定核的方程（例如部分观测的量子系统）；具有离散正定核的差分方程；广义时滞微分方程类；以及广义分数阶微分方程类。我们发展了一套一般的谱理论，为这些不同的领域提供了一组对应关系。结果表明，我们揭示了“互逆”（算子求逆）如何作为每个类别中自然的连续对合运算出现，从而为这类方程的解析解产生了大量新公式。该谱理论统一并扩展了粘弹性、信号处理与分析领域的现有成果，并在 Abel 关于第一类积分方程求解的开放问题上取得了进展。最后，它将所有类别的简单 Volterra 方程简化为可手工计算的形式，并为更广泛的 Volterra 方程数值求解提供了有前景的应用。