Volterra 签名的计算方面

Volterra 签名通过将一般的矩阵值核纳入其迭代积分结构来扩展经典路径签名，为时间序列产生一种灵活的记忆概念。其分量可被视为线性受控 Volterra 方程的逐次 Picard 迭代，这使得其精确计算具有额外的数学意义。然而，该核引入了实质性的算法挑战。我们通过首先将 [arXiv:2603.04525] 中建立的 Chen 型卷积关系分解为解析部分和算术部分，然后引入几种高效算法来解决这一问题：在时间步数 $J$ 下复杂度为 $O(J^2)$ 的一般近似方案，针对均匀网格上卷积核复杂度为 $O(J\log J)$ 的基于 FFT 的加速算法，以及对于具有维数 $R$ 的状态空间表示的核复杂度为 $O(JR^2)$ 的精确递归；在路径维数和截断水平 $N$ 上保持标准签名复杂度。我们进一步表明，形式为 $K(t,s)=\sum_p k_p(t-s)A_p$ 的矩阵值核中的因子数不会增加关于 $J$ 和 $N$ 的渐近复杂度。最后，我们为相关的 Volterra 签名核推导了一种有限差分预测-校正格式。所有算法均在公开的基于 JAX 的软件包 "tensordev" 中实现。