Gevrey级数方程中牛顿法的一个例子

在复WKB分析的背景下，我们讨论一维薛定谔方程 $-h^2\partial_x^2 f(x,h) + [Q(x)+hQ_1(x,h)]f(x,h) =0, \ \ \ h\to 0$，其中 $Q(x)$、$Q_1(x,h)$ 在原点 $x=0$ 附近解析，$Q(0)=0$，且 $Q_1(x,h)$ 是 $h$ 的阶乘发散幂级数。我们证明存在一个自变量变换 $y=y(x,h)$，在 $x=0$ 附近解析且关于 $h$ 阶乘发散，将上述薛定谔方程化为标准形式。证明通过约化为关于 $y(x,h)$ 的温和非线性方程，并使用适当修改的牛顿切线法求解。我们的结果推广了Aoki、Kawai和Takei的结果。