关于具有部分已知阶梯势的反散射过程中行列式公式的研究

我们关注全直线薛定谔算子$-\partial_x^2+q(x)$的反散射问题，其中势函数$q$在$\Reals_+=(0,\infty)$上先验已知且具有阶梯形式。假设$q|_{\Reals_+}$已知且为短程势，我们证明未知部分$q|_{\Reals_-}$可以通过公式{equation*} q|_{\Reals_-}(x)=-2\partial_x^2\log\det(1+(1+\mathbb{M}_x^+)^{-1}\mathbb{G}_x) {equation*}恢复，其中$\mathbb{M}_x^+$是与$q|_{\Reals_+}$相关的经典Marchenko算子，$\mathbb{G}_x$是迹类积分Hankel算子。$\mathbb{G}_x$的核由两个适当定义的反射系数之差显式构造。由于$q|_{\Reals_-}$在$-\infty$处未假设任何行为模式，定义和分析散射量成为一个严重问题。我们的分析基于与$\Reals_-$相关的Titchmarsh-Weyl $m$-函数的一些微妙性质。