相对论 Vlasov-Maxwell 系统重整化性质的端点情形

近来 C. Bardos 等人在其出色论文 \cite{Bardos} 中给出了关于相对论 Vlasov-Maxwell 系统重整化性质与熵守恒律的 Onsager 型猜想的证明。特别地，作者证明了若分布函数 $u \in L^{\infty}(0,T;W^{\alpha,p}(\mathbb{R}^6))$ 且电磁场 $E,B \in L^{\infty}(0,T;W^{\beta,q}(\mathbb{R}^3))$，其中 $\alpha, \beta \in (0,1)$ 满足 $\alpha\beta + \beta + 3\alpha - 1>0$ 且 $1/p+1/q\le 1$，则重整化性质与熵守恒律成立。为给出此项工作的完整证明，本文在更弱的正则性假设下改进了他们关于相对论 Vlasov-Maxwell 方程弱解的结果。更确切地说，我们证明了在类似假设下，相对论 Vlasov-Maxwell 系统弱解的重整化性质与熵守恒律甚至对端点情形 $\alpha\beta + \beta + 3\alpha - 1 = 0$ 也成立。我们的证明基于正则化算子的更优估计。