Schur 算法在若干解析函数变域中的应用

设 $\Omega$ 为复平面 ${\mathbb C}$ 中的凸域且 $\Omega \not= {\mathbb C}$，$P$ 为单位圆盘 ${\mathbb D}$ 到 $\Omega$ 的共形映射。令 ${\mathcal F}_\Omega$ 为 ${\mathbb D}$ 中满足 $g({\mathbb D}) \subset \Omega$ 的解析函数 $g$ 的类，$H_1^\infty ({\mathbb D})$ 为有界解析函数 $\omega$ 的 Banach 空间 $H^\infty ({\mathbb D})$ 的闭单位球，其范数为 $\| \omega \|_\infty = \sup_{z \in {\mathbb D}} |\omega (z)|$。令 ${\mathcal C}(n) = \{ (c_0,c_1 , \ldots , c_n ) \in {\mathbb C}^{n+1}: \text{存在} \; \omega \in H_1^\infty ({\mathbb D}) \; \text{满足} \; \omega (z) = c_0+c_1z + \cdots + c_n z^n + \cdots$ 对 ${z\in \mathbb D}\}$。对每个固定的 $z_0 \in {\mathbb D}$，$j=-1,0,1,2, \ldots$ 及 $c = (c_0, c_1 , \ldots , c_n) \in {\mathcal C}(n)$，我们使用 Schur 算法确定变域 $V_\Omega^j (z_0, c ) = \{ \int_0^{z_0} z^{j}(g(z)-g(0))\, d z : g \in {\mathcal F}_\Omega \; \text{且} \; (P^{-1} \circ g) (z) = c_0 +c_1z + \cdots + c_n z^n + \cdots \}$。我们还证明了对 $z_0 \in {\mathbb D} \backslash \{ 0 \}$ 与 $c \in \textrm{Int} \, {\mathcal C}(n)$，$V_\Omega^j (z_0, c )$ 是一个凸闭 Jordan 域，我们通过给出边界曲线 $\partial V_\Omega^j (z_0, c )$ 的参数表示来确定它。