Schur 算法在某类解析函数变差区域中的应用（二）

我们延续文献 \cite{Ali-Vasudevarao-Yanagihara-2018} 中关于变差区域的研究，其中作者确定了当 $\Omega\subsetneq\mathbb{C}$ 为凸域、且 $P$ 为单位圆盘 ${\mathbb D}$ 到 $\Omega$ 的共形映射时，对每个固定的 $z_0 \in {\mathbb D}$、$j=-1,0,1,2, \ldots$ 与 $c = (c_0, c_1 , \ldots , c_n) \in \mathbb{C}^{n+1}$ 的变差区域 $V_\Omega^j (z_0, c ) = \{ \int_0^{z_0} z^{j}(g(z)-g(0))\, d z : g({\mathbb D}) \subset \Omega, \; (P^{-1} \circ g) (z) = c_0 +c_1z + \cdots + c_n z^n + \cdots \}$。在本文中，我们首先证明在 $n=0$、$j=-1$ 且 $c=0$ 的情形下，当仅假设 $\Omega$ 关于 $P(0)$ 星形的条件下，文献 \cite{Ali-Vasudevarao-Yanagihara-2018} 所得结果依然成立。令 $\mathcal{CV}(\Omega)$ 为 ${\mathbb D}$ 中满足 $f(0)=f'(0)-1=0$ 且 $1+zf''(z)/f'(z) \in {\Omega}$ 的解析函数 $f$ 之族。作为应用，我们确定了当 $f$ 在 $\mathcal{CV}(\Omega)$ 中变化并带或不带条件 $f''(0)= \lambda$ 与 $f'''(0)= \mu$ 时 $\log f'(z_0)$ 的变差区域。此处 $\lambda$ 与 $\mu$ 为任意预先给定值。通过选取特定的 $\Omega$，我们获得了其他著名解析单叶函数子类下 $\log f'(z_0)$ 的精确变差区域。