多复变量中的 M. Riesz 与 Zygmund 定理

本文中，我们将著名的 M. Riesz 与 Zygmund 关于共轭函数的定理推广如下。设 $\Omega$ 为 $\mathbb C^n$ 中的域。假设 $f=u+iv\in \mathcal O(\Omega)$ 对某个 $z_0\in \Omega$ 满足 $v(z_0)=0$。则对 $1<p<\infty$ 有 $\|f\|_{p,z_0} \le C_p\, \|u\|_{p,z_0}$，其中 $C_p$ 为仅依赖于 $p$ 的常数，且 $\|u\|_{p,z_0}^p$ 定义为 $|u|^p$ 的最小调和控制函数在 $z_0$ 处的值。此外，若 $|u|\le 1$，则对任意 $\alpha>1$，存在 $C_\alpha>0$ 使得对 $\Omega$ 的任意穷竭 $\{\Omega_t\}$（满足 $\Omega_t\ni z_0$）有 $\int_{\partial \Omega_t} \frac{\exp\left(\frac{\pi}2 |f| \right)}{(1+|f|)^\alpha}\, d\omega_{z_0,t} \le C_\alpha$，其中 $d \omega_{z_0,t}$ 为 $\Omega_t$ 相对于 $z_0$ 的调和测度。并给出了超凸域上 Poletsky-Stessin-Hardy 空间的类似结果。