“Selmer 群 Chabauty”在算术动力学中的一个应用

我们描述如何利用作者所发展的“Selmer 群 Chabauty”方法，证明某些形式为 $$C \colon y^2 = x^N + h(x)^2 \,,$$ 的超椭圆曲线（其中 $N = 2g + 1$ 为奇数，$h \in \mathbb{Z}[x]$ 且 $\operatorname{deg} h \le g$，$h(0)$ 为奇数）仅具有“平凡”有理点 $\infty$（曲线光滑射影模型上唯一的无穷远点）以及 $(0, \pm h(0))$。作为该方法的一个应用，我们证明如下结果。令 $c \in \mathbb{Q}$ 并记 $f_c(x) = x^2 + c$。我们以 $f_c^{\circ n}$ 表示 $f_c$ 的迭代；即设 $f_c^{\circ 0}(x) = x$ 且 $f_c^{\circ(n+1)}(x) = f_c(f_c^{\circ n}(x))$。若 $f_c^{\circ 2}$ 不可约，则 $f_c^{\circ 6}$ 亦不可约。在广义黎曼假设（GRH）下，还可推出 $f_c^{\circ 10}$ 不可约。