中值极限在迭代函数方程中的一个应用

设 $(\Omega,\mathcal A,P)$ 为概率空间，$f\colon[0,1] \times \Omega\to[0,1]$ 为满足对每个 $\omega\in\Omega$ 有 $f(0,\omega)=0$、$f(1,\omega)=1$ 的函数，$g\colon[0,1]\to\mathbb R$ 为满足 $g(0)=g(1)=0$ 的有界函数，且 $a,b\in\mathbb R$。应用中间极限，我们描述了方程 \begin{equation*} \varphi(x) = \int_\Omega \varphi(f(x,\omega)) dP(\omega)+g(x) \end{equation*} 满足边界条件 $\varphi(0)=a$ 与 $\varphi(1)=b$ 的有界解 $\varphi\colon[0,1] \to \mathbb R$。