有界非参数 PMC 曲面的径向极限

考虑在 $\Omega\subset \Real^{2}$ 中满足预定平均曲率方程 $${\rm div}\left(\frac{\nabla f}{\sqrt{1+|\nabla f|^{2}}}\right)=2H(x,f) \ \ \ \ {\rm in} \ \ \Omega,$$ 的解 $f\in C^{2}(\Omega)$，其中 $\Omega$ 是边界在 ${\cal O}=(0,0)\in\partial\Omega$ 处有一个角点的区域。如果 $\sup_{x\in\Omega} |f(x)|$ 和 $\sup_{x\in\Omega} |H(x,f(x))|$ 均有界，且 $\Omega$ 在 ${\cal O}$ 处有一个凹角，则证明了 $f$ 在 ${\cal O}$ 处的径向极限 $$Rf(\theta) \myeq \lim_{r\downarrow 0} f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)),$$ 存在并具有一种特定类型的行为，且与 $f$ 在 $\partial\Omega$ 上的边界行为无关。如果 $\sup_{x\in\Omega} |f(x)|$ 和 $\sup_{x\in\Omega} |H(x,f(x))|$ 均有界，且 $f$ 在一侧的迹在 ${\cal O}$ 处有极限，则 $f$ 在 ${\cal O}$ 处的径向极限存在并具有特定类型的行为。