分层伪流形上 Lefschetz 与 Morse 理论的解析方法

我们为分层伪流形上 Hilbert 复形的 Lefschetz 不动点理论与 Morse 理论发展了一个解析框架。我们给出了全局与局部 Lefschetz 数以及 Morse、Poincaré 多项式作为 Hilbert 复形上同调群上的（多项式）超迹的公式，并发展了利用热核与 Witten 形变相关方法联系局部与全局量的技术。我们聚焦于度量为楔度量且 Hilbert 复形关联于 Dirac 型算子并满足 Witt 条件的情况，构造了 Bismut-Cheeger $\mathcal{J}$ 形式的 Lefschetz 版本用于 Dirac 算子的局部 Lefschetz 数，并给出了扭曲 de Rham、Dolbeault 与 spin$^{\mathbb{C}}$ Dirac 复形作为局部 Hilbert 复形上同调群上几何自同态的超迹的专门公式。我们构造几何自同态以定义某些自映射的 de Rham Lefschetz 数，这些自映射的拉回在 $L^2$ 形式上不诱导有界算子。为带分层 Morse 函数的 Witt 空间构造了 de Rham Witten 瞬子复形，证明了与文献中其他结果（包括 Goresky 与 MacPherson 在交上同调中的结果）相关的 Morse 不等式。我们还证明了瞬子复形上几何自同态的一个 Lefschetz-Morse 不等式，该不等式即使在光滑流形上也是新的。我们导出了 $L^2$ Lefschetz-Riemann-Roch 公式，并将其与 Baum-Fulton-Quart 的代数版本进行比较对照。在复情形下，我们导出了 spin Dirac 复形与 Hirzebruch $\chi_y$ 亏格的 Lefschetz 公式，并将其与符号、自对偶与反自对偶 Lefschetz 数相联系，研究其性质与应用，包括瞬子计数。我们在具有不同特征的各种例子中计算这些不变量，并与其他上同调理论中的版本进行比较。