实商奇点上1-形式的指标的一个代数公式

设有限阿贝尔群 $G$ 在空间 $\mathbb{R}^n$ 上（线性）作用，从而在其复化 $\mathbb{C}^n$ 上作用。令 $W$ 为商 $\mathbb{C}^n/G$ 的实部分（一般地 $W \neq \mathbb{R}^n/G$）。我们给出实商 $W$ 上 1-形式的径向指标的一个代数公式。结果表明，该指标等于留数配对限制到 $\Omega_\omega= \Omega^n_{\mathbb{R}^n,0}/\omega \wedge \Omega^{n-1}_{\mathbb{R}^n,0}$ 的 $G$-不变部分 $\Omega^G_\omega$ 上的符号差。对于 $G$-不变函数 $f$，有所谓量子奇点理论（FJRW 理论）中定义的量子上同调群。我们证明，对于实函数 $f$，留数配对在量子上同调群实部分上的符号差等于在自然商映射下 $W$ 的原像 $\pi^{-1}(W)$ 上 1-形式 $df$ 的 orbifold 指标。