$U(\mathfrak{gl}_n)$ 上的代数同构

对每个正整数 $n$,令 $\mathfrak{s}_n=\mathfrak{gl}_n\ltimes \mathbb{C}^n$。我们证明对任意 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$,有 $U(\mathfrak{s}_{n})_{X_{n}}\cong \mathcal{D}_{n}\otimes U(\mathfrak{s}_{n-1})$,其中 $U(\mathfrak{s}_{n})_{X_{n}}$ 是 $U(\mathfrak{s}_{n})$ 关于子集 $X_n:=\{e_1^{i_1}\cdots e_{n}^{i_{n}}\mid i_1,\dots,i_{n}\in \mathbb{Z}_+\}$ 的局部化,$\mathcal{D}_{n}$ 是 Weyl 代数 $\mathbb{C}[x_1^{\pm 1}, \cdots, x_{n}^{\pm 1}, \frac{\partial}{\partial x_1},\cdots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}]$。作为应用,我们给出了 $\mathfrak{s}_n$ 与 $\mathfrak{gl}_n$ 的 Gelfand-Kirillov 猜想的新证明。此外我们证明,对任意 $n\in \mathbb{Z}_{\geq 2}$,具有固定权支撑的 Harish-Chandra $U(\mathfrak{s}_{n})_{X_n}$-模范畴等价于表示类型为 wild 的有限维 $\mathfrak{s}_{n-1}$-模范畴。