$\mathbb{S}^1\times \mathbb{C}$ 上向量场李代数的不可约 Jet 模

对 $\mathbb{C}$ 上的交换代数 $A$，记 $\mathfrak{g}=\text{Der}(A)$。 smashed积 $A\# U(\mathfrak{g})$ 上的模称为 jet $\mathfrak{g}$-模，其中 $U(\mathfrak{g})$ 为 $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数。本文研究 $A=\mathbb{C}[t_1^{\pm 1},t_2]$ 时的 jet 模。我们证明 $A\#U(\mathfrak{g})\cong\mathcal{D}\otimes U(L)$，其中 $\mathcal{D}$ 为 Weyl 代数 $\mathbb{C}[t_1^{\pm 1},t_2, \frac{\partial}{\partial t_1},\frac{\partial}{\partial t_2}]$，$L$ 为 $A\# U(\mathfrak{g})$ 的李子代数，称为对应于 $\mathfrak{g}$ 的 jet 李代数。利用李代数同构 $\theta:L \rightarrow \mathfrak{m}_{1,0}\Delta$（其中 $\mathfrak{m}_{1,0}\Delta$ 为在点 $(1,0)$ 处消失的向量场子代数），我们证明任意不可约有限维 $L$-模同构于一个不可约 $\mathfrak{gl}_2$-模。作为应用，我们给出具有一致有界权空间的 $\mathfrak{g}$ 上不可约 jet 模的张量积实现。