Witt代数$\mathcal{W}_n$与$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$上的不可约模

本文利用“扭转技术”，从Weyl代数$\mathcal{K}_n$（洛朗多项式代数）上的模$A$出发，对任意$b\in\mathbb{C}$，得到了一类Witt代数$\mathcal{W}_n$上的新模$A_b$。我们给出了$A_b$不可约的充要条件，并确定了两个这样的不可约$\mathcal{W}_n$-模同构的充要条件。由于$\sl_{n+1}(\mathbb{C})$是$\mathcal{W}_n$的子代数，所有上述不可约$\mathcal{W}_n$-模$A_b$均可视为$\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-模。对于一类这样的$\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-模，记为$\Omega_{1-a}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，其中$a\in\mathbb{C}, \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \in \mathbb{C}^*$，我们确定了这些$\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-模不可约的充要条件。若$\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-模$\Omega_{1-a}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$可约，我们证明它具有唯一的非平凡子模$W_{1-a}(\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n)$，且商模是最高权为$m\Lambda_n$的有限维$\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-模，其中$m\in \Z_+$为某非负整数。我们还确定了两个$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模$\Omega_{1-a}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$与$W_{1-a}(\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n)$同构的充要条件。不可约$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模$\Omega_{1-a}(\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n)$和$W_{1-a}(\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n)$是新的。