辛微分约化代数与广义外尔代数

给定一个结合代数映射 $\Xi\colon U(\mathfrak{g})\rightarrow A$，其中 $U(\mathfrak{g})$ 是（复）有限维约化李代数 $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数，从 $A$-模到 $U(\mathfrak{g})$-模的限制函子与一个被称为关于 $(A,\mathfrak{g},\Xi)$ 的约化代数的 $A$-子商的表示论密切相关。Herlemont 和 Ogievetsky 将一般线性李代数 $\mathfrak{gl}(n)$ 的微分约化代数描述为变形微分算子代数。他们的映射 $\Xi$ 是 $\mathfrak{gl}(n)$ 在 $n$ 阶外尔代数的 $N$ 重张量积与 $U(\mathfrak{gl}(n))$ 的张量积中的一个实现。在本文中，我们通过寻找当 $\mathfrak{g}$ 是秩为 $2$ 的辛李代数且 $\Xi$ 是 $\mathfrak{g}$ 在第二外尔代数与 $\mathfrak{g}$ 的通用包络代数（经过适当局部化）的张量积中的一个标准实现时的表示，进一步推进了微分约化代数的研究。此外，我们证明了该微分约化代数是一种我们称之为斜仿射型的新型广义外尔代数（GWA），这是 Bavula 意义下的。据信，所有辛微分约化代数都是斜仿射型 GWA；那么它们的不可约权模可以通过标准的 GWA 技术获得。