随机平面曲线的 Amoeba 测度

我们证明了次数为 $d$ 的复平面曲线的 amoeba 的期望面积小于 $\displaystyle{3\ln(d)^2/2+9\ln(d)+9}$，且在经 $\ln(d)^2$ 重缩放后，其渐近下界为 $3/4$。为了得到这个下界，给定复射影平面中大小为 $1/\sqrt{d}$ 的双圆盘的不相交等距嵌入，我们低估了其中一个成为复平面曲线子流形坐标卡的概率。随着双圆盘数量增长至 $+\infty$，该概率指数收敛于 1。