关于随机实数代数曲线的嵌套结构与大型连通分支

我们发展了一种障碍方法的变体，以解决关于 Kostlan 随机实数代数平面曲线拓扑的疑问。特别是，我们证明了长度为 $\displaystyle{O\left(\sqrt{d^{-1}\log \log d}\right)}$ 的曲线连通分支数的期望随 $d$ 的增大而趋于无穷，同样地，深度至少为 $\displaystyle{O\left(\log\log d\right)}$ 的曲线嵌套结构数的期望也随 $d$ 的增大而趋于无穷。在另一个方向上，我们改编了 Shifmann 和 Zelditch 对子空间的 $L^{\infty}$-范数界限结果，并据此获得了有限数量的点保持在随机曲线补集不同组成部分中的概率的下界。