随机超曲面排列的 Betti 数

我们研究了 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 中由随机(依 Kostlan 分布)多项式的零点所构成的排列的 Betti 数的期望行为。利用随机谱序列,我们证明了 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ 中 $s$ 个此类超曲面补集的连通分支期望个数的渐近精确估计。我们还研究了超曲面由随机二次多项式定义的情形。在此情形下,我们建立了此类排列的 Betti 数与某一随机定义的几何图模型期望行为之间的联系。我们的通用结果意味着随机超曲面排列并集的平均第零 Betti 数由上界控制,该上界随排列中多项式个数线性增长;而借助与随机图的联系,我们给出了随机二次曲面排列期望第零 Betti 数的一个次线性上界。该上界源于我们随机图模型中连通分支期望个数的一个一般性结果,其本身可能具有独立意义。