随机连杆的拓扑

机械连杆（也称为多边形空间）构型空间的 Betti 数取决于大量参数——即连杆各杆的长度。受拓扑机器人学、统计形状理论和分子生物学应用的启发，我们将这些长度视为随机变量，并研究当连杆数量 $n$ 趋于无穷大时平均 Betti 数的渐近值。我们确立了一个令人惊讶的事实：对于相当广泛的一类概率测度序列，平均 Betti 数的渐近值与测度的选择无关。本文的主要结果适用于平面连杆以及 $\mathbb{R}^3$ 中的连杆。我们还证明了关于 Betti 数高阶矩的结果。