Furstenberg-Weiss 型几乎 1-1 扩张与可均性检验

设 $G$ 为一个无限剩余有限群。我们证明，对于每一个具有自由轨道的极小等距 Cantor 系统 $(Z,G)$，以及 $(Z,G)$ 的每一个极小扩张 $(Y,G)$，都存在 $(Z,G)$ 的一个极小几乎 1-1 扩张 $(X,G)$ 和一个 Borel 等变映射 $\psi:Y\to X$，该映射诱导了 $M(Y,G)$ 与 $M(X,G)$ 之间的仿射双射 $\psi^*$，其中 $M(Y,G)$ 和 $M(X,G)$ 分别是 $(Y,G)$ 和 $(X,G)$ 的不变概率测度空间。若 $Y$ 是一个 Cantor 集，则 $(Y,G)$ 与 $(X,G)$ 是 Borel 同构的，即 $\psi^*$ 也是一个同胚。作为一个应用，我们证明了 Toeplitz 子移位族构成了剩余有限群的可均性检验，即：一个剩余有限群 $G$ 是可均的，当且仅当每一个 Toeplitz $G$-子移位都具有不变概率测度。