Cantor 最小系统的轨道等价性

本文研究了描述Cantor最小系统轨道等价关系的描述复杂性。具体而言，我们研究仅包含有限个 ergodic 测度的全部Cantor最小系统的巨布尔类，并证明该类的轨道等价与等价关系 $=^+$ 双可比。我们证明了同样的结果适用于regular $\{0, 1\}$-Toeplitz 子系统或唯一 ergodic 最小子系统的子类。我们也研究了有限拓扑秩最小子系统的轨道等价性。设 $R_n$ 为拓扑秩为 $n \geq 2$ 的最小子系统的轨道等价。我们证明对于任意 $n \geq 2$，$R_n$ 是准可数的，即可归约到可数巨布尔等价关系。此外，$R_2$ 是准可测的。另一方面，$R_n$ 当 $n \geq 2$ 时不可平滑的，$n \geq 4$ 时不可准超有限的，$n \geq 5$ 时不可准树形的。对于任意 $n \geq 2$，我们的构造yield出拓扑秩恰好为 $n$ 的唯一 ergodic 最小子系统。