“代数真理”对“几何幻想”：魏尔斯特拉斯对黎曼的回应
历史与综述
2007-05-23 v1
摘要
在1850年代，魏尔斯特拉斯成功解决了超椭圆情形的雅可比反演问题，并声称能够解决一般问题。大约同一时期，黎曼成功地将他在其学位论文（1851）中建立的几何方法应用于阿贝尔积分的研究以及雅可比反演问题的求解。为回应黎曼的成就，至1860年代初，魏尔斯特拉斯开始以算术为基础系统地建构解析函数理论，并在其讲座中讲授。据魏尔斯特拉斯所言，该理论提供了整个椭圆与阿贝尔函数理论的基础，而后者是其数学工作的最终目标。黎曼的复函数理论似乎是魏尔斯特拉斯著作与讲座的背景。魏尔斯特拉斯与其前学生施瓦茨的未刊通信为此提供了有力证据。魏尔斯特拉斯的许多结果，包括其连续不可微函数的例子以及其狄利克雷原理的反例，都受到他对黎曼方法的批评以及对黎曼“几何幻想”的不信任所推动。相反，他选择了幂级数路径，因为他确信解析函数理论必须建立在简单的“代数真理”之上。尽管魏尔斯特拉斯未能建立令人满意的多复变函数理论，他与黎曼几何路径之间的对立一直持续到20世纪头几十年。
引用
@article{arxiv.math/0305022,
title = {"Algebraic truths" vs "geometric fantasies": Weierstrass' Response to Riemann},
author = {Umberto Bottazzini},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0305022},
year = {2007}
}