Eisenstein 的 Weierstrass zeta 函数完备化的新构造

在椭圆函数和椭圆曲线理论中，Weierstrass $zeta$ 函数（本质上是 Weierstrass $\wp$ 函数的反导数）起着突出作用。尽管它不是椭圆函数，Eisenstein 构造了这个形式的简单（非全纯）完备化，它是双周期的。该定理已在调和 Maass 形式理论中开始发挥重要作用，并且对 Guerzhoy 以及 Alfes、Griffin、Ono 和作者的工作至关重要。特别地，这个 $\zeta$ 的简单完备化提供了一种强有力的方法来构造零权调和 Maass 形式，这些形式作为权为 2 尖点形式在微分算子 $\xi_{0}$ 下的标准提升，并且已表明对确定椭圆曲线的扭曲 Hasse-Weil $L$-函数的中心值和导数的消失准则有深层应用。这里我们给出 Eisenstein 定理的一个新的且有动机的证明，依赖于 Jacobi 形式的微分算子基本理论以及格的第一拟周期的一个经典恒等式。对证明的快速检查表明，它也允许人们轻松构造更一般的非全纯椭圆函数。