涉及 Cantorval 的可达集的代数和

本文研究可达集（achievement sets）的代数和的拓扑类型。我们证明存在一个 Cantorval，使得其 $k$ 个拷贝的代数和对任意 $k \in \mathbb{N}$ 仍为 Cantorval。我们还证明对任意 $m,p \in (\mathbb{N}\setminus \{1\}) \cup \{\infty\}$ 且 $p \geq m$，$k$ 个 Cantor 集拷贝的代数和可在 $k=m$ 时由 Cantor 集转变为 Cantorval，并在 $k=p$ 时进一步转变为区间。这两项主要结果基于对一个新刻画：即其可达集为 Cantorval 的序列的刻画。我们还定义了一类新的可达 Cantorval，其并非由多重几何级数生成。在最后一节中，我们讨论了与可达集拓扑类型相关的序列的各种分解。