中心 Cantor 集的差集为 Cantorval 的条件

设 $C(\lambda )\subset \lbrack 0,1]$ 为由序列 $\lambda = \left( \lambda_{n} \right) \in \left( 0,\frac{1}{2} \right) ^{\mathbb{N}}$ 生成的中心 Cantor 集。由已知的三分法，$C(\lambda )$ 的差集 $C(\lambda )-C(\lambda )$ 为三种可能集合之一：有限个闭区间的并、一个 Cantor 集，以及一个 Cantorval。我们的主要结果描述了保证 $C(\lambda )-C(\lambda )$ 为 Cantorval 的关于 $(\lambda_{n})$ 的有效条件。我们表明这些条件可用若干等价形式表达。在附加假设下，建立了 Cantorval $C(\lambda )-C(\lambda )$ 的测度。我们给出了所证定理在某些快速收敛级数的成就集（achievement sets）方面的一个应用。