循环码与负循环码支持设计的七个公开问题的代数解

本文给出解决 Wang、Tang 和 Ding 关于循环码、负循环码和共轭循环码支持设计的七个公开问题的统一代数解。对于循环码 $[C(\frac{p^s-1}{2},\frac{p^s+1}{2})]$，单位圆的 Cayley 参数化将零迹条件化简为 $\PG(1,q)$ 上的仿射方程。其大根集合恰为 $\F_{p^{\gcd(m,s)}}$-次子线，产生互补设计 $\overline{S(3,q_0+1,q+1)}$。对于长度为 $q^2+1$ 的负循环码，$\U_{2(q^2+1)}$ 到 $\U_{q^2+1}$ 的商输送和单位圆参数化表明，最小零集合恰为 $\PG(1,q^2)$ 的 Baer 次线。等价地，对应的支持设计是椭圆双曲面 $\Q^-(3,q)$ 上非切平面截面的补集。对于长度为 $q^2+1$ 且定义域为 $\F_q$ 的共轭循环 ovoid 码，确切的存在准则为 $[\lambda\in\F_q^*,\quad \exists\ \lambda$-共轭循环 ovoid 码 $\Longleftrightarrow$ $\lambda\notin(\F_q^*)^2]$。特别是，当 $q\equiv3\pmod4$ 时，负循环 ovoid 码恰好存在。该证明使用纠正的射影阶 congruence $[a=(q+1)c,\quad c\equiv b\pmod{q-1},\quad \operatorname{ord}(\theta\F_q^*)=\frac{q^2+1}{\gcd(q^2+1,c)}]$。本文还推导了关于提升 ovoid 码的通用权重生成函数，独立于所选取的 ovoid。最后，构造连续根负循环 MDS 码以给出完整的简单 5 设计，包括一个proper 负循环 $[11,5,7]_{23}$ 码，其最小支持构成完整的 $5-(11,7,15)$ 设计。