代数闭链、穿孔曲线的基本群及其在算术中的应用

本文的结果可分为几何与算术两部分。设 $X$ 为 $\mathbb{C}$ 上的光滑射影曲线，$e,\infty\in X(\mathbb{C})$ 为不同点。令 $L_n$ 为由长度 $\leq n$ 的迭代积分（如 Hain 所定义）给出的 $\pi_1(X-\{\infty\},e)$ 上函数的混合 Hodge 结构。在几何部分，受 Darmon、Rotger 和 Sols 工作的启发，我们用 $X^{2n-1}$ 上某些零同调代数闭链表达了由 $\frac{L_n}{L_{n-2}}$ 上的权滤子给出的混合 Hodge 扩张 $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$。作为推论，我们证明了扩张 $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ 决定了点 $\infty\in X-\{e\}$。文章的算术部分给出了几何部分的一些数论应用。我们假设 $X=X_0\otimes_K\mathbb{C}$ 且 $e,\infty\in X_0(K)$，其中 $K$ 是 $\mathbb{C}$ 的子域，$X_0$ 是 $K$ 上的射影曲线。令 $Jac$ 为 $X_0$ 的 Jacobian。我们利用扩张 $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ 将每个 $Z\in CH_{n-1}(X_0^{2n-2})$ 对应于一点 $P_Z\in Jac(K)$，该点可用迭代积分解析描述。$P_Z$ 的 $K$-有理性的证明用到了本文几何部分构造的代数闭链定义在 $K$ 上。假设关于 $L_n(X-\{\infty\},e)$ 上 Hodge 滤子的某个合理假设成立，我们证明了对于使 $P_Z$ 为挠元的代数闭链 $Z$，会产生 $L_2(X-\{\infty\},e)$ 的周期之间的关系。有趣的是，即使取 $Z$ 为 $X_0$ 的对角线，这些关系也是非平凡的。本文在 $n=2$ 情形下的几何结果，以及可将一族点关联到 $\mathbb{E}^\infty_{2,e}\in Jac(K)$ 这一事实，归功于 Darmon、Rotger 和 Sols。我们的贡献在于将这一图景推广到更高权。