$l_1$ 中某些集合的代数与拓扑性质

对于序列 $x \in l_1 \setminus c_{00}$，可以考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x(n)$ 的所有部分和构成的集合 $E(x)$。Guthrie 和 Nymann 证明了 $E(x)$ 属于以下类型的集合之一：(I) 有限个闭区间的并集；(C) 同胚于 Cantor 集；(MC) 同胚于 $\sum_{n=1}^\infty b(n)$ 的部分和集合 $T$，其中 $b(2n-1) = 3/4^n$ 且 $b(2n) = 2/4^n$。用 $I$、$C$ 和 $MC$ 表示所有满足 $E(x)$ 具有相应性质的序列 $x \in l_1 \setminus c_{00}$ 的集合。本文证明 $I$ 和 $C$ 是强 $\mathfrak{c}$-代数的，而 $MC$ 是 $\mathfrak{c}$-线性的。我们证明 $C$ 是 $l_1$ 中的稠密 $G_\delta$-集，而 $I$ 是真 $F_\sigma$-集。最后，我们证明 $I$ 是可空间化的，而 $C$ 不是可空间化的。