具有极大射影维数的仿射半群（二）

若半群环的 Krull 维数大于一，则具有极大射影维数（$\mathrm{MPD}$）的仿射半群不是 Cohen-Macaulay 的，但可能是 Buchsbaum 的。我们给出了单纯 $\mathrm{MPD}$-半群为 Buchsbaum 的充要条件，以伪 Frobenius 元素表述。我们给出了 $\prec$-几乎对称 $\mathcal{C}$-半群的若干刻画。当锥为满锥时，我们证明不可约 $\mathcal{C}$-半群以及 Betti 型为三的 $\prec$-几乎对称 $\mathcal{C}$-半群满足扩展 Wilf 猜想。对于 $e \geq 4$，我们给出 $\mathbb{N}^2$ 中一类 MPD-半群，使得 Betti 型关于嵌入维数 $e$ 无上界。因此，Betti 型未必是嵌入维数的有界函数。我们进一步探讨了满足 Arf 性质的 $\mathbb{N}^d$ 子幺半群。