实指数多项式环中单项式理想的 Krull 维数

我们开发了一种新技术来研究标准多项式环 $A[X_1,\ldots,X_d]$ 中的单项式理想，其中 $A$ 是含单位元的交换环。主要思想是考虑半群环 $R=A[\mathbb{M}^1_{\geq 0}\times\cdots\times\mathbb{M}^d_{\geq 0}]$ 中的诱导理想，其中 $\mathbb{M}^1,\ldots,\mathbb{M}^d$ 是 $\mathbb{R}$ 的非零加法子群。我们证明了 $R$ 中非零有限生成单项式理想的集合具有度量空间的结构，并证明了该设定下的 Krull 维数版本关于此度量空间结构是下半连续的。我们还展示了如何利用离散技术来研究此背景下的某些单项式理想。