关于半代数函数环的 Krull 维数

设 $R$ 为实闭域，${\mathcal S}(M)$ 为半代数集 $M\subset R^n$ 上的（连续）半代数函数环，${\mathcal S}^*(M)$ 为其有界半代数函数子环。在本工作中，我们引入了 ${\mathcal S}(M)$ 的素理想 $\gtp$ 的\em 半代数深度\em 概念，旨在提供 ${\mathcal S}(M)$ 和 ${\mathcal S}^*(M)$ 环的 Krull 维数有限性的初等证明；该方法受计算复代数集上多项式环维数的经典方法启发，且不涉及实谱的复杂机制。我们还证明了 $\dim{\mathcal S}(M)=\dim{\mathcal S}^*(M)=\dim M$，并证明了在这两种情况下，对应于点 $p\in M$ 的极大理想的高度 coincide 与 $M$ 在 $p$ 处的局部维数。若 $\gtp$ 是 ${\mathcal S}(M)$ 的素\em $z$-理想\em，其半代数深度 coincide 与实闭域 $\qf({\mathcal S}(M)/\gtp)$ 在 $R$ 上的超越次数。