平面中康托尔集的仿射嵌入

设 $F,E\subseteq \mathbb{R}^2$ 为两个自相似集。首先，假设 $F$ 由一个具有强分离条件的迭代函数系 $\Phi$ 生成，我们刻画了满足 $g(F)\subseteq F$ 的仿射映射 $g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$。我们的分析依赖于由 $\Phi$ 中相似映射的正交部分所生成的群 $G_\Phi$ 的基数。当 $|G_\Phi|=\infty$ 时，我们证明任何这样的自嵌入必须是相似映射，因此（根据 Elekes、Keleti 和 Máthé 的结果）其正交部分的某个幂次属于 $G_\Phi$。当 $|G_\Phi| < \infty$ 且 $\Phi$ 具有一致压缩比 $\lambda$ 时，我们证明任何此类嵌入的线性部分是可对角化的，并且其每个特征值的范数是 $\lambda$ 的有理数次幂。我们还研究了满足 $g(F)\subseteq E$ 的仿射映射 $g$ 的存在性和性质，其中 $E$ 由一个迭代函数系 $\Psi$ 生成。在这个方向上，我们为 Feng、Huang 和 Rao 的一个猜想提供了更多证据，该猜想认为这样的嵌入仅当 $\Phi$ 中映射的压缩比代数依赖于 $\Psi$ 中映射的压缩比时才存在。此外，我们证明，在某些条件下，如果 $|G_\Phi|=\infty$，则 $|G_\Psi|=\infty$；如果 $|G_\Phi|<\infty$，则 $|G_\Psi|<\infty$。