余弦族的一个零-$\sqrt{5}/2$定律

设 $a \in \R$，令 $k(a)$ 为最大常数，使得对 $b\in \R$，$sup\vert cos(na)-cos(nb)\vert \textless{} k(a)$ 蕴含 $b \in \pm a+2\pi\Z$。我们证明，若取值于 Banach 代数 $A$ 的余弦序列 $(C(n))_{n\in \Z}$ 满足 $sup_{n\ge 1}\Vert C(n) -cos(na).1_A\Vert \textless{} k(a)$，则对 $n\in \Z$ 有 $C(n)=cos(na)$。由于对每个 $a \in \R$ 有 ${\sqrt 5\over 2} \le k(a) \le {8\over 3\sqrt 3}$，这表明若 Abel 群 $G$ 上的某个 Banach 代数中的余弦族 $(C(g))_{g\in G}$ 对某个标量余弦族 $(c(g))_{g\in G}$ 满足 $sup_{g\in G}\Vert C(g)-c(g)\Vert \textless{} {\sqrt 5\over 2}$，则对 $g\in G$ 有 $C(g)=c(g)$，且常数 ${\sqrt 5\over 2}$ 是最优的。我们还描述了满足 $k(a)\le {3\over 2}$ 的所有实数 $a \in [0,\pi]$ 的集合。