行列式线丛的变分公式：VII 类曲面上稳定丛模空间的紧子空间

本文涉及两个主题：第一个具有普遍性质，是非 Kähler 几何中行列式线丛的变分公式。该公式是 Bismut 最近证明的非 Kähler 版本 Grothendieck-Riemann Roch 定理的推论，给出了对应于乘积 $B\times X$ 上的 Fourier-Mukai 核 ${\cal E}$ 被纤维 $X$ 上的酉平坦线丛扰动时，行列式线丛的变化。当该纤维是复曲面且 ${\cal E}$ 是全纯 2-丛时，结果可解释为 Donaldson 不变量。第二个主题涉及我们变分公式的几何应用，即我们将研究稳定丛模空间的紧复子空间，这是我们证明最小 VII 类曲面上曲线存在性计划的一部分。这样的模空间带有一个对应于 $X$ 的典范扩张 ${\cal A}$ 的区分点 $a=[{\cal A}]$。包含该区分点的紧子空间 $Y\subset {\cal M}^\st$ 在我们的计划中起着重要作用。我们将证明一个不存在性结果：不存在正维数的紧复子空间 $Y\subset {\cal M}^\st$ 包含 $a$ 且具有开邻域 $a\in Y_a\subset Y$，使得 $Y_a\setminus\{a\}$ 仅由不可滤过丛组成。换言之，在任何包含 $a$ 的正维数紧复子空间 $Y\subset {\cal M}^\st$ 内，点 $a$ 可以被可滤过丛逼近。特化到 $b_2=2$ 的情形，我们获得了一种完成前一篇文章中定理证明的新方法：任何 $b_2=2$ 的最小 VII 类曲面都有一个曲线圈。关于更高 $b_2$ 的 VII 类曲面的应用将在后续文章中讨论。