行列式线、von Neumann 代数与 $L^2$ 扭射

本文提出了一种关于有限 von Neumann 代数上 finitely generated Hilbertian 模块行列式线的构造方法。行列式线的非零元素可视为 Hilbertian 模块上的体积形式。借此，我们研究了在紧致多边形和流形上的平坦 Hilbertian 包裹相关的 $L^2$ 组合和 $L^2$ 解析扭射不变量；我们将其视为简化 $L^2$ 同调与上同调中的体积形式。这些扭射不变量在有限维情形下可特化为经典的 Reidemeister-Franz 扭射和 Ray-Singer 扭射。在假设 $L^2$ 同调消失时，行列式线可标准地同位于 $\R$，我们的 $L^2$ 扭射不变量特化为 A.Carey、V.Mathai 和 J.Lott 先前构造的 $L^2$ 扭射不变量。我们还表明，Burghelea 等人最近的定理可被表述为等式，即组合 $L^2$ 同调与分析 $L^2$ 同调中的两个体积形式相等。