范霍夫纳范畴与扩展 $L^2$ 同调

本文提出了一种新的通用形式化方法，用于研究多边形和流形的不变量，这些不变量来源于范霍夫纳代数理论。首先，我们检讨了可以应用范霍夫纳范畴扩展 abelian 范畴构造的普遍性，这种构造在作者的前期著作中提出，借鉴了 P.Freyd 的思想。这导致了有限范霍夫纳范畴和该范畴上迹的概念。给定一个有限范霍夫纳范畴，我们研究其在 abelian 扩展中的扩展同 homology 与上同调理论。初始范畴上的任何迹都会产生数值不变量——范霍夫纳维数和 Novikov-Shubin 数。因此，我们获得了在不同迹处局部化的 Novikov-Shubin 不变量的局部版本。在“abelian”情况下，这种局部分置可以更几何地处理：我们展示，任意 torsion 对象确定一个“divisor”——参数空间上的一个闭子空间。torsion 对象的 divisor 以及由局部 Novikov-Shubin 不变量产生的信息，可用于研究代数和分析 variety 的交叉数目(我们在此仅讨论演示此可能性的简单例子)。我们在实分析情形下显式计算 divisor 和扩展同调的范霍夫纳维数。我们还给出映射环面的扩展同调的通用公式。最后，我们说明如何定义扩展同调的 De Rham 版本并证明了 De Rham 类型定理。