Grothendieck 对偶与 Hochschild 同调之间的关系

本文主要综述了由 Avramov 和 Iyengar 在 2008 年发现的公式所引发的工作，这些公式允许将某些 Hochschild 同调与上同调模计算为涉及对偶复形的表达式。这些公式的一个方面是（迄今为止）仅对有限 Tor 维的映射已知——我们进一步特殊化，在本综述中仅给出平坦映射下的公式。回顾一下，对于概型的一般映射 $f:X\to Y$，对偶函子 $f^!$ 传统上仅在有界下方导出范畴上定义和研究。Alonso、Jeremias 和 Lipman 观察到，只要限制到有限 Tor 维的态射 $f$，就存在 $f^!$ 到无界导出范畴的扩展。但这一扩展此前理解甚少，以至于文献 [19] 在重新审视 Avramov 和 Iyengar 的公式时，无法证明这些公式向无界情形的显然推广。尽管本文大部分是综述，但第 4 和第 5 节是新的。它们展示了如何利用 [23] 的结果从 [19] 的公式中移除不自然的有界性假设。这正是最初推动 [23] 的应用。