半交换范畴中的同调与同伦

阿贝尔范畴理论被证明非常有用,为环上模特别是阿贝尔群的同调与上同调提供了公理化框架。多年来,对于非阿贝尔(上)同调一直缺乏类似的范畴框架,其研究对象包括非阿贝尔群、环、李代数等范畴。Janelidze、Marki 与 Tholen 提出的半阿贝尔范畴概念使得对此类范畴许多重要同调性质的统一研究成为可能。例如,在任何半阿贝尔范畴中,经典图表引理(短五引理、3x3 引理、蛇形引理、Noether 同构定理)均成立。本论文的核心论点是,半阿贝尔框架确实非常适合于非阿贝尔(上)同调及相应同伦理论的研究。它描述了范畴同调理论的基础,统一了例如群、李代数与交叉模的经典(上)同调理论的许多基本方面。从(真)链复形与单纯对象的同调出发,引入 Barr-Beck 余三元同调的半阿贝尔版本。对此背景下 Baer 不变量理论的系统研究得到了 Hopf 公式(用换位子描述第二同调对象)与 Stallings-Stammbach 序列的范畴版本。我们得到一个泛系数定理、一个 Hochschild-Serre 序列的版本,以及用中心扩张的同构类对第二上同调群的解释。此外,研究了单纯对象与内范畴同伦的 Quillen 模型范畴结构,并证明它们分别与相应的半阿贝尔同调概念相容。