关于常系数微分算子的一个消失猜想

在近期进展 [BE1]、[Me] 和 [Z2] 中，著名的 JC（Jacobian 猜想）（[BCW], [E]）已被归结为关于 Laplace 算子和 HN（Hessian 幂零）多项式（即 Hessian 矩阵幂零的多项式）的一个 VC（消失猜想）。本文首先证明上述消失猜想（从而也是 JC）等价于一个关于所有二阶齐次微分算子 $\Lambda$ 和 $\Lambda$-幂零多项式 $P$（即对所有 $m\ge 1$ 满足 $\Lambda^m P^m=0$ 的多项式 $P(z)$）的消失猜想。然后，我们将文献中关于 JC、HN 多项式和 Laplace 算子 VC 的一些结果转化为关于 $\Lambda$-幂零多项式以及二阶齐次微分算子 $\Lambda$ 的相关 VC 的某些结果。本文的这一部分也可作为在更一般框架下关于 HN 多项式及相关 VC 的一篇简短综述来阅读。最后，我们讨论了一般 $\Lambda$-幂零多项式与一元或多元经典正交多项式之间一个尚待理解的关联。这种关联为具有常系数的二阶齐次满秩微分算子 $\Lambda$ 的齐次 $\Lambda$-幂零多项式的各向同性性质提供了一个概念性的理解。