类 Van der Waerden/Schrijver-Valiant 猜想与稳定（即双曲）齐次多项式：一个统一所有情形的定理

设 $p$ 为 $n$ 个变量的 $n$ 次齐次多项式，$p(z_1,...,z_n) = p(Z)$，$Z \in C^{n}$。如果当实部 $Re(z_i) > 0, 1 \leq i \leq n$ 时 $p(z_1,...,z_n) \neq 0$，则称此类多项式 $p$ 为 {\bf H-稳定}。这一来自 {\it 控制理论} 的概念与 {\it 偏微分方程} 理论中广泛使用的 {\it 双曲性} 概念密切相关。本文的主要定理指出，如果 $p(x_1,...,x_n)$ 是一个具有非负系数的 $n$ 次齐次 {\bf H-稳定} 多项式；$deg_{p}(i)$ 是变量 $x_i$ 的最高次数，$C_i = \min(deg_{p}(i),i)$ 且 $$Cap(p) = \inf_{x_i > 0, 1 \leq i \leq n} \frac{p(x_1,...,x_n)}{x_1 ... x_n}$$ 则以下不等式成立 $$\frac{\partial^n}{\partial x_1... \partial x_n} p(0,...,0) \geq Cap(p) \prod_{2 \leq i \leq n} (\frac{C_i -1}{C_i})^{C_{i}-1}.$$ 该不等式是关于双随机矩阵永久量的 Van der Waerden 猜想以及关于 $k$-正则二分图中完美匹配数量的 Schrijver-Valiant 猜想的广泛（且统一的）推广。这两个著名结果对应于作为线性形式乘积的 {\bf H-稳定} 多项式。我们的证明相对简单且“非计算性”；它仅使用了复数的非常基本的性质和 AM/GM 不等式。