随机整系数多项式的伽罗瓦群与范德瓦尔登猜想

在 $(2H+1)^n$ 个首一整系数多项式 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n$（其中 $\max\{|a_1|,\ldots,|a_n|\}\leq H$）中，有多少个的相伴伽罗瓦群不是全对称群 $S_n$？显然有 $\gg H^{n-1}$ 个这样的多项式，例如取 $a_n=0$ 即可得到。1936年，范德瓦尔登猜想此类多项式的计数之上界实际上也应为 $O(H^{n-1})$。由于范德瓦尔登以及 Chow 和 Dietmann 的工作，该猜想此前仅对次数 $n\leq 4$ 已知成立。本文旨在证明所有次数 $n$ 下的范德瓦尔登猜想。