关于环 $\mathbb{Z}[x]$ 中首一可容多项式的个数

本文研究可容多项式。对于固定的 $H$，我们建立了次数为 $n$、系数 $a_i$ 满足 $0\leq a_i\leq H$（$i=0,1,2,\ldots,n-1$）的可容多项式个数的估计。特别地，令 $\mathcal{N}(H)$ 表示次数为 $n\geq 3$、系数满足不等式 $0\leq a_i\leq H$ 的首一可容多项式的个数，我们证明 \begin{align}\frac{H^{n-1}}{(n-1)!}+O(H^{n-2})\leq \mathcal{N}(H) \leq \frac{n^{n-1}H^{n-1}}{(n-1)!}+O(H^{n-2}).\nonumber \end{align} 又令 $\mathcal{A}(H)$ 表示满足同样系数条件的首一不可约可容多项式的个数，我们证明 \begin{align}\mathcal{A}(H)\geq \frac{H^{n-1}}{(n-1)!}+O\bigg( H^{n-4/3}(\log H)^{2/3}\bigg).\nonumber \end{align}