唯一的完美幂十角数

令$\mathcal{P}_s(n)$表示第$n$个$s$角数。我们考虑方程$$\mathcal{P}_s(n) = y^m,$$其中$n,s,y,m$为整数。对于$m>2$且$s \in \{3,5,6,8,20 \}$的所有解均已已知。我们考虑$s=10$的情形，即十角数。利用下降论证与模方法，我们证明唯一可表示为完美$m$次幂（$m>1$）且大于1的十角数是$\mathcal{P}_{10}(3) = 3^3$。