对称群的奇异多项式与模
表示论
2009-09-04 v1
摘要
对于某些称为奇异值的负有理数 k0，并与 N 个对象的对称群 S_N 相关联，当参数 k = k0 时，存在被每个 Dunkl 算子零化的齐次多项式。由 de Jeu、Opdam 与作者（TAMS 346(1994),237-256）证明，奇异值恰为满足条件 2<=n<=N、m = 1,2... 且 m/n 非整数的 m/n。对于满足这些条件的每一对 (m,n)，存在唯一一个关于奇异值 -m/n 的奇异多项式的不可约 S_N-模。这些多项式的存在性由作者（IMRN 2004,#67,3607-3635）所确立。唯一性在本文中证明。利用 Murphy（J. Alg. 69(1981), 287-297）关于 Murphy 元特征值的结论，奇异多项式的存在性问题首先被限制到 N 的一个划分（对应于 S_N 的一个不可约表示）的等型上，使得除最后一部分外该划分的每一部分 t 都满足 (n/gcd(m,n)) 整除 t+1。然后通过涉及非对称 Jack 多项式的论证表明，假设该划分的第二部分大于等于 n/gcd(m,n) 会导致矛盾。这说明奇异多项式恰为那些已被确定的多项式。
引用
@article{arxiv.math/0501494,
title = {Singular Polynomials and Modules for the Symmetric Groups},
author = {Charles F. Dunkl},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0501494},
year = {2009}
}
备注
24 pages