单项对称多项式的主特殊化与循环群的群行列式

在本文中，我们研究单项对称多项式的主特殊化，并考察这些多项式在 $$\zeta_{(n,k)} := ( 1, \zeta_n, \zeta_n^2, \dots, \zeta_n^{kn-1} ),$$ 处的特殊值，其中 $\zeta_n$ 为 $n$ 次本原单位根。我们给出了若干类特殊值的显式公式。我们还表明，这些特殊值作为 $n$ 阶循环行列式（$n$ 阶循环群的群行列式）的 $k$ 次幂展开中的系数自然出现。这些结果推广了 Ore 在 $k = 1$ 时的公式。此外，我们确定了 $n$ 阶循环群的群永久的 $k$ 次幂中项的数量。这推广了 Brualdi 和 Newman 在 $k = 1$ 时的结果。