有界重数多重集的循环消减与Frobenius硬币问题

标题中的两个主题通过在根单位处的对称多项式特殊化之间存在关联。设$f(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb{Z}[z_1,\ldots,z_n]$为具有整数系数的对称多项式，令$\omega$为原始$d$次单位根。如果$d|n$或$d|(n-1)$，则我们有$f(1,\ldots,\omega^{n-1})\in\mathbb{Z}$。如果$d|n$，当然我们有$f(\omega,\ldots,\omega^n)=f(1,\ldots,\omega^{n-1})\in\mathbb{Z}$，但当$d|(n+1)$时，我们也有$f(\omega,\ldots,\omega^n)\in\mathbb{Z}$。我们在$f=h_k^{(b)}$的情况下研究这三类整数，其中$h_k^{(b)}$是生成函数$\prod_{i=1}^n (1+z_it+\cdots+(z_it)^{b-1})$中$t^k$的系数。这些多项式之前已被几个作者考虑。它们位于初等对称多项式($b$=2)和完全齐次对称多项式($b\to\infty$)之间。当$\gcd(b,d)=1$且$d|n$或$d|(n-1)$时，我们发现$h_k^{(b)}=(1,\omega,\ldots,\omega^{n-1})$与重数受上界限制的多重集的循环消减相关，这推广了已知的集合($b=2$)和多重集($b\to\infty$)的循环消减结果。当$\gcd(b,d)=1$且$d|(n+1)$时，我们发现$h_k^{(b)}(\omega,\omega^2,\ldots,\omega^n)$与两个硬币的Frobenius硬币问题相关。$\gcd(b,d)\neq 1$的情况更为复杂。本文末尾，我们将这些结果与$h_k^{(b)}$在对称多项式环中各种基的展开相结合。